Задания по математике в рамках «Интеллектуального марафона 2014» Муниципального центра «Одаренные дети» (февраль – март 2014 года)
1. У Ивана имеется деревянный параллелепипед с измерениями 6см, 12см, 18 см. Он распиливает его на кубики с ребром 1 см и ставит их один на другой. Сможет ли Иван достроить вышку из этих кубиков, если даже он заберётся на трехметровую лестницу.
2. Сколько нулей стоит в конце произведения всех натуральных чисел от 10 до 25?
3. На школьной викторине участникам предложили 20 вопросов. За правильный ответ ученику ставилось 12 очков, а за неправильный списывали 10 очков. Сколько правильных ответов дал один из учеников, если он ответил на все вопросы и набрал 86 очков?
4. Средний возраст 11 игроков футбольной команды 22 года. Когда одного игрока удалили с поля, средний возраст оставшихся стал 21 год. Сколько лет удалённому игроку?
5. Возраст старика Хоттабыча записывается числом с различными цифрами. Об этом числе известно следующее:
· если первую и последнюю цифру зачеркнуть, то получится двузначное число, которое при сумме цифр, равной 13, является наибольшим;
· первая цифра больше последней в 4 раза;
Сколько лет старику Хоттабычу?
6. Три подруги вышли в белом, синем, зелёном платьях и туфлях таких же цветов. Известно, что только у Ани цвет платья и туфель совпадает. Ни платье, ни туфли Вали не были белыми. Наташа была в зелёных туфлях. Определить цвет платья и туфель каждой подруги.
7. Постройте график уравнения:
а) (х-2) (у+3) = 0 б) х2+ху=0 (6б.)
8. В некотором месяце три четверга пришлись на чётные числа. Какой день недели был 26-го числа этого месяца?
9. Проказница Мартышка, Осел, Козел да Косолапый Мишка, затеявши играть квартет, испробовали все способы Соловью усеяться на 4 пенька на поляне, прежде чем поверили Соловью, который, как известно, сказал им: «А вы, друзья, как ни садитесь, все в музыканты не годитесь!» Сколько раз им пришлось пересаживаться?
10. В ящике 24 кг гвоздей. Как на чашечных весах без гирь и без стрелки отмерить 9 кг?
11. Как от куска материи длиной 3/4 метра отрезать полметра, не имея под руками метра?
12. Пассажир едет в поезде, который идёт со скоростью 60 км/ч, и видит, что мимо окна проходит встречный поезд в течение 4с. Какова скорость встречного поезда, если его длина равна 120м? (5б.)
13. Сколькими нулями оканчивается произведение всех целых чисел от 1 до 100 включительно.
14. Найдите действительные решения уравнения
(х+2)4+х4=82
15. Решите уравнение в целых числах: х+у= ху
16. В окружность радиуса R вписан треугольник, вершины которого делят окружность в отношении 2:5:17. Найти площадь треугольника.
17. Существует ли в пространстве фигура (состоящая из многоугольников и содержащая точки А, В, С,D), для которой выполняются следующие соотношения: АВ=СD=8 см; АС=ВD=10 см; АВ=+ВС= 13см?
18. В равнобедренной трапеции даны основания а=21см, b= 9см и высота h= 8 см. Найдите радиус описанного круга.
19. ABCDA1B1C1D1 – куб с ребром 2см. Паук находится в центре грани АВА1В1. Какую наименьшую длину может иметь путь паука по поверхности куба в вершину С? (5б.)
20. Николай с сыном и Иван с сыном были на рыбалке. Николай поймал столько же рыб, сколько и его сын, а Иван – втрое больше, чем его сын. Всего было поймано 35 рыб. Сколько рыб поймал Иван и как звали его сына?
21. Четыре человека обменялись рукопожатиями. Сколько всего было рукопожатий?
22. Найдите площадь прямоугольника, если его длина на 5 см больше ширины, а половина периметра равна 19 см.
23. На координатном луче отмечено несколько точек, координаты которых являются натуральными числами. Известно также, что сумма этих чисел равна 75. Если мы каждую точку переместим вправо на три единичных отрезка, то сумма координат точек будет уже равняться 99. Сколько чисел было отмечено на координатном луче?
24. В 9 часов утра со станции А отправился пассажирский поезд, а вслед за ним в 11 ч с той же станции отправился скорый поезд. На каком расстоянии от станции А пассажирскому поезду надо будет пропустить скорый, если скорость пассажирского поезда 54 км/ч, а скорого – 72 км/ч?
25. Если треть числа разделить на его семнадцатую часть, в остатке будет 100. Найдите это число.
26. Улитка ползает по столбу высотой 10 м. За день она поднимается на 5 м, а за ночь опускается на 4 м. За какое время улитка доберётся от подножия до вершины столба.
27. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки образуют прямой угол?
28. Пришёл Иван-царевич в подземелье к Кощею Бессмертному Василису Прекрасную освобождать. В подземелье три темницы. В одной из них томится Василиса, в другой расположился Змей Горыныч, а третья темница – пустая. На дверях есть надписи, но все они ложные. На первой темнице написано: «Здесь Василиса Прекрасная»; на второй темнице: «Темница №3 не пустая»; на третьей темнице написано: «Здесь Змей Горыныч». В какой же темнице Василиса?
28. Можно ли в центры клеток шахматной доски 8*8 вбить 16 гвоздей так, что бы никакие три гвоздя не лежали на одной прямой?
29. Первая слева цифра четырёхзначного числа 7. Если эту цифру перенести на последнее место, то число уменьшится на 864. Найдите четырёхзначное число.
30. В очереди в школьный буфет стоят Вика, Соня, Боря, Денис и Алла. Вика стоит впереди Сони, но после Аллы; Боря и Алла не стоят рядом; Денис не находится рядом ни с Аллой, ни с Викой, ни с Борей. В каком порядке стоят ребята?
31. От 2 кусков сплавов с разным содержанием свинца массой 6 кг и 12 кг отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого сплава, после чего процентное содержание свинца в обоих сплавах стало одинаковым. Каковы массы отрезанных кусков?
32. Решите уравнение 2х+3х=5/6
